Управление активами на нелинейном рынке ценных бумаг. Пример в Excel 2010

Доходность российских ПИФов за период с 2001 года по 2007 год  составила 300%-400% и была получена не вследствие качественного понимания рынка и его движущих сил, а за счет почти линейного роста индекса RTSI. Использование метода управления на основе Markowitz и Sharpe models не оправдало себя. Одним из ключевых моментов  в создании портфеля по Марковицу и Шарпу  является подчинению нормальному закону распределения доходностей акций. Если изменения доходностей акций не подчиняется нормальному (Гауссову) закону распределения, то применение этих моделей не корректно. Выясним это на примере акций Gazprom, проверим, является ли распределение акции нормальным и может ли она быть включена в портфель Markowitz. Для этого рассчитаем статистический Pearson ratio –  Хи квадрат с использованием MS Excel.
Для начала, занесем в таблицу дневные котировки Gazprom за период 2009 года и рассчитаем дневную доходность по формуле:

где:  Д_i – доходность за текущий день;
P_i – цена акции на конец текущего дня;
P_i-1 -цена акции на конец предыдущего дня.

Далее необходимо рассчитать статистические показатели изменения доходности:
1) Общее количество значений доходности. (N)
2) Максимальная доходность за период.(MAX)
3) Минимальная доходность за период.(MIN)
4) Среднеквадратическое отклонение доходностей за период.(SKO)
5) Математическое ожидание доходностей за период.(MO)
6) Размах вариации доходностей.(R)
7) Интервал группировки (Int)
8) Количество интервалов  группировки, изменения доходность, возьмем 100

– Рассчитаем значения этих показателей в Excel.

Максимальная доходность за период (MAX) =МАКС(D3:D251).
Минимальная доходность за период (MIN)  =МИН(D3:D251).
Среднеквадратическое отклонение доходностей (SKO) =СТАНДОТКЛОН(D4:D251).
Математическое ожидание доходностей (MO)=СРЗНАЧ(D3:D251).
Размах вариаций доходности (R) =G2-H2.
Интервал изменения (Int) =K2/100.

– Полученные данные занесем в таблицу.

Следующим этап заключается в построении изменения эмпирических частот  доходностей и теоретических частот.

– Зададим 100 интервалов доходностей от самого минимального до максимального. После этого зададим границы этих интервалов, начиная с минимального и прибавляя Int.

– После рассчитаем частоту попадания доходностей в эти интервалы. Для этого выделим сначала область  H6:H105 и введем формулу

=ЧАСТОТА(D3:D251;G6:G105)

и нажмем Ctrl+Shift+Enter для группировки значений.

В итоге получится следующая таблица. Сумма по всем частотам доходностей должна равняться N, то есть 250.

– Рассчитаем середины созданных интервалов и построим для них теоретические значения функции Гаусса.

– Далее рассчитаем частоты для нормального закона распределения доходностей.
Расчет середины интервала происходит по формуле:

=G6+$L$2/2

Теоретическое значение частоты для этого интервала (по нормальному закону распределения) рассчитывается по формуле:

 =НОРМРАСП(I6;$J$2;$I$2;ЛОЖЬ)*$L$2

Теоретическое значение частоты рассчитывается перемножением значения нормального распределения для интервала и количества всех значений доходности (N).

=J6*$F$2

Для проверки теоретических частот сума диапазона К7:К251 должна равняться, количеству ежедневных доходностей  акции, т.е. 250.

Получается следующая таблица частот распределения доходностей акции экспериментальных и теоретических.

– На новом листе построим гистограмму изменения экспериментальных и теоретических частот. Для этого выделим два диапазона значений, для экспериментальных частот диапазон H6:H105 и для теоретических частот диапазон с К6:К105.

– Для расчета критерия Пирсона Хи квадрат необходимо воспользоваться формулой для диапазонов экспериментальной и теоретической частоты. Хи квадрат показывает с какой вероятностью фактическое (экспериментальное ) распределение частот соотносится с гипотетическим (теоретическим) распределением.

=ХИ2ТЕСТ(H6:H105;K6:K105)

Получаем значение теста Хи квадрат равному 0.0000568, что сообщает что распределение частот доходности акции Газпром за выбранный период подтверждается нормальным распределением с вероятностью 0.0056%, то есть распределение акций Газпрома не подчиняется нормальному распределению.

Использовать нормальное распределение для прогнозирования изменения доходности по акциям Gazprom нельзя, так же не корректно  будет использование этой акции в портфеле Markowitz и для расчета показателя риска VAR, так как в основе этих математических моделей лежит предположение о  том нормальном распределении. Финансистам необходимо разработать более точные и более качественные модели позволяющие описать функционирование рынка.