Применение K-S test для управления акциями на российском рынке ЦБ. Пример в Excel 2010

Для проверки нормальности распределения доходностей актива и дальнейшего корректного применения раличных методов, рассчитаем Kolmogorov–Smirnov test. Этот критерий схож с Pearson ratio, но имеет другой алгоритм расчета, и применяется для подтверждения гипотезы распределения.

Рассчитаем Kolmogorov–Smirnov test для выбранной акции Rosneft.

–  Составим таблицу из эмпирических частот доходностей акции и теоретических частот. Для получения эмпирических частот рассчитаем дневные доходности акций за годовой период.

(1)

где:  Д_i – доходность текущего дня;
P_i – цена акции на конец текущего дня;
P_i-1 – цена акции на конец предыдущего дня.
Для расчетов применим MS Excel.

Получится следующая таблица, состоящая из даты, цен закрытия торгов по акции Роснефть и ежедневной доходности.

– Для расчета эмпирической частоты доходности акции Роснефть, необходимо рассчитать следующие показатели:
1) Общее количество значений доходности. (N=250)
2) Максимальная доходность за период.(MAX)
3) Минимальная доходность за период.(MIN)
4) Среднеквадратическое отклонение доходностей за период.(SKO)
5) Математическое ожидание доходностей за период.(MO)
6) Размах вариации доходностей.(R)
7) Интервал группировки (Int)
8) Количество интервалов  группировки, изменения доходность, возьмем 100

– Рассчитаем значения этих показателей в Excel.

Максимальная доходность за период =МАКС(D3:D251)
Минимальная доходность за период  =МИН(D3:D251)
Стандартное отклонение доходностей =СТАНДОТКЛОН(D4:D251)
Математическое ожидание доходностей =СРЗНАЧ(D3:D251)
Размах вариаций доходности =G2-H2
Интервал изенения =K2/100

– Полученные данные занесем в таблицу:

– Следующий этап заключается в построении эмпирических частот для ежедневных доходностей акции Роснефти.

–  Зададим 100 интервалов изменения доходности, и начиная с минимальной доходности прибавляем интервал изменения доходности (Int).

Получается следующая таблица:

Интервал

=G7+$L$2

– Рассчитаем частоту попадания доходностей в эти интервалы. Для этого выделим сначала область  H6:H105 и введем формулу

=ЧАСТОТА(D3:D251;G6:G105)

и нажмем Ctrl+Shift+Enter для группировки.

В итоге получится следующая таблица. Для проверки сумма всех частот должна быть равна количеству значений доходности, то есть 250. Получились эмпирические значения частот.

– Рассчитаем теоретические значения частот. Для этого рассчитаем середины созданных интервалов и рассчитаем частоты для нормального закона распределения доходностей.
Расчет середины интервала происходит по формуле:
Середина интервала

=G6+$L$2/2

Теоретическое значение частоты для этого интервала (по нормальному закону распределения) рассчитывается по формуле:
Теоретическое значение распределения

 =НОРМРАСП(I6;$J$2;$I$2;ЛОЖЬ)*$L$2

Теоретическое значение частоты рассчитывается перемножением значения нормального распределения для интервала и количества всех значений доходности (N).
Теоретическое значение частоты

=J6*$F$2

Для проверки теоретических частот сума диапазона К7:К106 должна равняться, количеству ежедневных доходностей  акции, т.е. 250. Получается следующая таблица частот распределения доходностей акции экспериментальных и теоретических.

Для визуального просмотра нужно построить гистограмму распределения эмпирических и теоретических частот.

– Приступим к расчету критерия Колмогорова Смирнова, для проверки закона распределения доходностей акции Роснефть на нормальное распределение. Для этого на новом листе , построим таблицу, состоящую из эмпирических и теоретических частот.

– Следующим этапом будет необходимо построить таблицу накопленных эмпирических и теоретических частот. Для построения накопленных частот необходимо расположить эмпирические и теоретические частоты в порядке возрастания (от минимального к максимальному).

Ниже приведены формулы для расчета накопленных частот.
Накопленные эмпирические частоты

 =E2+B3.

Накопленные теоретические частоты

 = F2+C3

– В ячейке “Разность” рассчитаем  абсолютную разницу (по модулю) между накопленными эмпирическими частотами и теоретическими

=ABS(E2-F2)

– Рассчитаем  критерии Колмогорова – Смирнова  для частот доходности акций Роснефти.

Рассчитаем критические значения критерия Колмогорова – Смирнова: для этого воспользуемся следующей таблицей. Так как объем выборки превышает 100, в нашем случае объем выборки равен 250, то воспользуемся последним условием.

 

Занесем данные в таблицу. Рассчитав формулы для ячеек.

Максимальная разность упорядоченной эмпирической и теоретической частоты =МАКС(G2:G101).
Критерий Колмогорова- Смирнова =I3/100.
Критический критерий Колмогорова – Смирнова
= 1.36/КОРЕНЬ(250) и
=1.63/КОРЕНЬ(250).

После этого построим «ось значимости», на которой отмечаем Dэмп  и Dкр.
Dэмп = 0.3519
Dкр.  =0.086   и 0.10309

Так как критерий Колмогорова – Смирнова попадает в зону значимости, следовательно, эмпирическое распределение доходностей акции Роснефти  на высоком уровне отличается от теоретического распределения (нормального распределения доходностей).
Использование Kolmogorov–Smirnov test позволяет определить подчинятся ли распределение доходностей актива нормальному закону распределения. Если доходность актив не подчиняется нормальному закону распределения, то применение к такому активу существующие финансовые методы и модели, такие как модель Марковица, модель Шарпа, Var и другие некорректно и ведет к увеличению риска.